求解 ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

求值

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+x^{2}\right)^{2}。

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

使用分配律将 x 乘以 4+4x^{2}+x^{4}。

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 4 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{3}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{4}}{4}。 求 4 与 \frac{x^{4}}{4} 的乘积。

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{5}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{6}}{6}。

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

关于 x 的微分

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$