求解 ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

求值

$$\frac{271}{6}\approx 45.166666667$$

求解步骤

使用分配律将 \sqrt{x}+1 乘以 \sqrt{x}。

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

计算 2 的 \sqrt{x} 乘方，得到 x。

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

首先计算定积分。

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

将 \sqrt{x} 改写为 x^{\frac{1}{2}}。 由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}。 化简。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

化简。

$$\frac{271}{6}$$