求解 ∫ (from 1 to 2) of (1+2y)^2 wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + 2 y ) ^ { 2 } d y$$

求值

$$\frac{49}{3}\approx 16.333333333$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(1+2y\right)^{2}。

$$\int _{1}^{2}1+4y+4y^{2}\mathrm{d}y$$

首先计算定积分。

$$\int 1+4y+4y^{2}\mathrm{d}y$$

逐项积分求和。

$$\int 1\mathrm{d}y+\int 4y\mathrm{d}y+\int 4y^{2}\mathrm{d}y$$

在项末因式分解出常数。

$$\int 1\mathrm{d}y+4\int y\mathrm{d}y+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

使用标准积分规则表查找 1 的整数 \int a\mathrm{d}y=ay。

$$y+4\int y\mathrm{d}y+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

由于 \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int y\mathrm{d}y 替换为 \frac{y^{2}}{2}。 求 4 与 \frac{y^{2}}{2} 的乘积。

$$y+2y^{2}+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

由于 \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int y^{2}\mathrm{d}y 替换为 \frac{y^{3}}{3}。 求 4 与 \frac{y^{3}}{3} 的乘积。

$$y+2y^{2}+\frac{4y^{3}}{3}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$2+2\times 2^{2}+\frac{4}{3}\times 2^{3}-\left(1+2\times 1^{2}+\frac{4}{3}\times 1^{3}\right)$$

化简。

$$\frac{49}{3}$$