求解 ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

求值

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}。

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

计算 2 的 \sqrt{x} 乘方，得到 x。

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

要查找 16-8\sqrt{x}+x 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

将 6 减去 16，得到 -10。

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

首先计算定积分。

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

使用标准积分规则表查找 -10 的整数 \int a\mathrm{d}x=ax。

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

将 \sqrt{x} 改写为 x^{\frac{1}{2}}。 由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}。 化简。 求 8 与 \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} 的乘积。

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 -1 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

化简。

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

化简。

$$-\frac{16}{3}$$