求解 ∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 4 r ^ { 2 } + 1 } d r d \theta$$

求值

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5.3304135$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

使用标准积分规则表查找 \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r 的整数 \int a\mathrm{d}\theta =a\theta 。

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

化简。

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

化简。

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$