求解 ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

求值

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

逐项积分求和。

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

在项末因式分解出常数。

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

由于 \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int r\mathrm{d}r 替换为 \frac{r^{2}}{2}。

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

由于 \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int r^{2}\mathrm{d}r 替换为 \frac{r^{3}}{3}。 求 -1 与 \frac{r^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

化简。

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

关于 x 的微分

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$