求解 ∫ (from 0 to 1) of (x^18+18^x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { 18 } + 18 ^ { x } ) d x$$

求值

$$\frac{17}{\ln(18)}+\frac{1}{19}\approx 5.934227935$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int x^{18}+18^{x}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x^{18}\mathrm{d}x+\int 18^{x}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{18}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{19}}{19}。

$$\frac{x^{19}}{19}+\int 18^{x}\mathrm{d}x$$

使用通用整型表中的 \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)} 来获得结果。

$$\frac{x^{19}}{19}+\frac{18^{x}}{\ln(18)}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{1^{19}}{19}+18^{1}\ln(18)^{-1}-\left(\frac{0^{19}}{19}+18^{0}\ln(18)^{-1}\right)$$

化简。

$$\frac{1}{19}+\frac{17}{\ln(18)}$$