求解 ∫ (from 0 to sqrt { 2) of / 2 } (1/2x^2-x^4) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) d x$$

求值

$$\frac{\sqrt{2}}{60}\approx 0.023570226$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int \frac{x^{2}}{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int \frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x+\int -x^{4}\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。 求 \frac{1}{2} 与 \frac{x^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{x^{3}}{6}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{4}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{5}}{5}。 求 -1 与 \frac{x^{5}}{5} 的乘积。

$$\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{5}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{1}{6}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{3}-\frac{1}{5}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}-\left(\frac{0^{3}}{6}-\frac{0^{5}}{5}\right)$$

化简。

$$\frac{\sqrt{2}}{60}$$