求解 ∫ (from - 3 to - 1) of (1/x^2-1/x^3) wrt x

$$\int _ { - 3 } ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ) d x$$

求值

$$\frac{10}{9}\approx 1.111111111$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x 替换为 -\frac{1}{x}。

$$-\frac{1}{x}-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x 替换为 -\frac{1}{2x^{2}}。 求 -1 与 -\frac{1}{2x^{2}} 的乘积。

$$-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}$$

化简。

$$\frac{\frac{1}{2}-x}{x^{2}}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\left(\frac{1}{2}-\left(-1\right)\right)\left(-1\right)^{-2}-\left(\frac{1}{2}-\left(-3\right)\right)\left(-3\right)^{-2}$$

化简。

$$\frac{10}{9}$$