求解 ∫ (from - 2 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

求值

$$\frac{2048}{105}\approx 19.504761905$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(4x-x^{3}\right)^{2}。

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

同底的幂相乘，即将其指数相加。1 加 3 得 4。

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。3 乘 2 得 6。

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

首先计算定积分。

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。 求 16 与 \frac{x^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{4}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{5}}{5}。 求 -8 与 \frac{x^{5}}{5} 的乘积。

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{6}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{7}}{7}。

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

化简。

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{\left(-2\right)^{7}}{7}-\frac{8}{5}\left(-2\right)^{5}+\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}\right)$$

化简。

$$\frac{2048}{105}$$