求解 ∫ (from - 1 to 1) of t(1-t)^2dt

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } t ( 1 - t ) ^ { 2 } d t$$

求值

$$-\frac{4}{3}\approx -1.333333333$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(1-t\right)^{2}。

$$\int _{-1}^{1}t\left(1-2t+t^{2}\right)\mathrm{d}t$$

使用分配律将 t 乘以 1-2t+t^{2}。

$$\int _{-1}^{1}t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

首先计算定积分。

$$\int t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

逐项积分求和。

$$\int t\mathrm{d}t+\int -2t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

在项末因式分解出常数。

$$\int t\mathrm{d}t-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

由于 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int t\mathrm{d}t 替换为 \frac{t^{2}}{2}。

$$\frac{t^{2}}{2}-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

由于 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int t^{2}\mathrm{d}t 替换为 \frac{t^{3}}{3}。 求 -2 与 \frac{t^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

由于 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int t^{3}\mathrm{d}t 替换为 \frac{t^{4}}{4}。

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{4}}{4}$$

化简。

$$\frac{t^{4}}{4}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{1^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

化简。

$$-\frac{4}{3}$$