求解 ∫ (from - 1 to 0) of (x^3-2x^2-13x)

$$\int _ { - 1 } ^ { 0 } ( x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 13 x )$$

求值

$$\frac{67}{12}\approx 5.583333333$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int x^{3}-2x^{2}-13x\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int -13x\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x-13\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{3}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{4}}{4}。

$$\frac{x^{4}}{4}-2\int x^{2}\mathrm{d}x-13\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。 求 -2 与 \frac{x^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}-13\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 -13 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}-\frac{13x^{2}}{2}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{0^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 0^{3}-\frac{13}{2}\times 0^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}-\frac{13}{2}\left(-1\right)^{2}\right)$$

化简。

$$\frac{67}{12}$$