求解 ∫ 5v(v^2+2)^2dv

$$\int 5 v ( v ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } d v$$

求值

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(v^{2}+2\right)^{2}。

$$\int 5v\left(\left(v^{2}\right)^{2}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\int 5v\left(v^{4}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

使用分配律将 5v 乘以 v^{4}+4v^{2}+4。

$$\int 5v^{5}+20v^{3}+20v\mathrm{d}v$$

逐项积分求和。

$$\int 5v^{5}\mathrm{d}v+\int 20v^{3}\mathrm{d}v+\int 20v\mathrm{d}v$$

在项末因式分解出常数。

$$5\int v^{5}\mathrm{d}v+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

由于 \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int v^{5}\mathrm{d}v 替换为 \frac{v^{6}}{6}。 求 5 与 \frac{v^{6}}{6} 的乘积。

$$\frac{5v^{6}}{6}+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

由于 \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int v^{3}\mathrm{d}v 替换为 \frac{v^{4}}{4}。 求 20 与 \frac{v^{4}}{4} 的乘积。

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+20\int v\mathrm{d}v$$

由于 \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int v\mathrm{d}v 替换为 \frac{v^{2}}{2}。 求 20 与 \frac{v^{2}}{2} 的乘积。

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}$$

如果 F\left(v\right) 是 f\left(v\right) 的就，则 f\left(v\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(v\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

关于 v 的微分

$$5v\left(v^{2}+2\right)^{2}$$