求解 ∫ (x+1)(2x-1)(x+9) wrt x

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ( x + 9 ) d x$$

求值

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

求解步骤

应用分配律，将 x+1 的每一项和 2x-1 的每一项分别相乘。

$$\int \left(2x^{2}-x+2x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

合并 -x 和 2x，得到 x。

$$\int \left(2x^{2}+x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

应用分配律，将 2x^{2}+x-1 的每一项和 x+9 的每一项分别相乘。

$$\int 2x^{3}+18x^{2}+x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

合并 18x^{2} 和 x^{2}，得到 19x^{2}。

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

合并 9x 和 -x，得到 8x。

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+8x-9\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 19x^{2}\mathrm{d}x+\int 8x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{3}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{4}}{4}。 求 2 与 \frac{x^{4}}{4} 的乘积。

$$\frac{x^{4}}{2}+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。 求 19 与 \frac{x^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 8 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}+\int -9\mathrm{d}x$$

使用标准积分规则表查找 -9 的整数 \int a\mathrm{d}x=ax。

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

关于 x 的微分

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+9\right)$$