求解 ∫ (3x+2)^3

$$\int ( 3 x + 2 ) ^ { 3 }$$

求值

$$\frac{\left(3x+2\right)^{4}}{12}+С$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} 展开 \left(3x+2\right)^{3}。

$$\int 27x^{3}+54x^{2}+36x+8\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int 27x^{3}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 36x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$27\int x^{3}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{3}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{4}}{4}。 求 27 与 \frac{x^{4}}{4} 的乘积。

$$\frac{27x^{4}}{4}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。 求 54 与 \frac{x^{3}}{3} 的乘积。

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 36 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

使用标准积分规则表查找 8 的整数 \int a\mathrm{d}x=ax。

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x+С$$

关于 x 的微分

$$\left(3x+2\right)^{3}$$