求解 ∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

求值

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

求解步骤

将 \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

消去分子和分母中的 x^{2}+x+1。

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 -1 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

使用标准积分规则表查找 1 的整数 \int a\mathrm{d}x=ax。

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

化简。

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

关于 x 的微分

$$x^{2}-x+1$$