求解 ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

求值

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

求解步骤

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 -a-1 与 \frac{a+1}{a+1} 的乘积。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

由于 \frac{2a+10}{a+1} 和 \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

完成 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right) 中的乘法运算。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

合并 2a+10-a^{2}-a-a-1 中的项。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} 除以 \frac{9-a^{2}}{a+1} 的计算方法是用 \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} 乘以 \frac{9-a^{2}}{a+1} 的倒数。

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

将 \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

消去分子和分母中的 \left(a-3\right)\left(a+1\right)。

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 \left(-a-3\right)\left(a+6\right) 和 a+3 的最小公倍数是 \left(a+3\right)\left(a+6\right)。 求 \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} 与 \frac{-1}{-1} 的乘积。 求 \frac{1}{a+3} 与 \frac{a+6}{a+6} 的乘积。

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

由于 \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} 和 \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

完成 -\left(a-2\right)+a+6 中的乘法运算。

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

合并 -a+2+a+6 中的项。

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} 乘以 \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

消去分子和分母中的 2。

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

将 \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}} 中尚未因式分解的表达式分解因式。

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

消去分子和分母中的 a+3。

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

使用分配律将 4 乘以 2a-1。

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

使用分配律将 a+6 乘以 a^{2}。

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

使用标准积分规则表查找 \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} 的整数 \int a\mathrm{d}x=ax。

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

化简。

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的就，则 f\left(x\right) 的所有 antiderivatives 的集合都由 F\left(x\right)+C 提供。因此，将集成 C\in \mathrm{R} 的常数添加到结果中。

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

关于 x 的微分

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$