求解 d/dxleft(csc(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \csc ( x ) \right)$$

求值

$$-\frac{\cot(x)}{\sin(x)}$$

运用商的导数法则的步骤

使用余割的定义。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{\sin(x)})$$

对于任意两个可微函数，这两个函数的商的导数即分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数的差，再除以分母的平方，所得的值。

$$\frac{\sin(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))}{\left(\sin(x)\right)^{2}}$$

常数 1 的导数为 0，sin(x) 的导数为 cos(x)。

$$-\frac{\cos(x)}{\left(\sin(x)\right)^{2}}$$

将商改写为两个商的乘积形式。

$$\left(-\frac{1}{\sin(x)}\right)\times \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$

使用余割的定义。

$$\left(-\csc(x)\right)\times \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$

使用余切的定义。

$$\left(-\csc(x)\right)\cot(x)$$

关于 x 的微分

$$\frac{2\left(\cot(x)\right)^{2}+1}{\sin(x)}$$