求解 x-1/x-2+x-7/x-8=x-3/x-4+x-5/x-6

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } + \frac{ x-7 }{ x-8 } = \frac{ x-3 }{ x-4 } + \frac{ x-5 }{ x-6 }$$

求解 x 的值

$$x=5$$

求解线性方程的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 2,4,6,8。 将公式两边同时乘以 \left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right) 的最小公倍数 x-2,x-8,x-4,x-6。

$$\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x-8 乘以 x-6，并组合同类项。

$$\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{2}-14x+48 乘以 x-4，并组合同类项。

$$\left(x^{3}-18x^{2}+104x-192\right)\left(x-1\right)+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{3}-18x^{2}+104x-192 乘以 x-1，并组合同类项。

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x-6\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x-6 乘以 x-4，并组合同类项。

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{2}-10x+24\right)\left(x-2\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{2}-10x+24 乘以 x-2，并组合同类项。

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+\left(x^{3}-12x^{2}+44x-48\right)\left(x-7\right)=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{3}-12x^{2}+44x-48 乘以 x-7，并组合同类项。

$$x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192+x^{4}-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

合并 x^{4} 和 x^{4}，得到 2x^{4}。

$$2x^{4}-19x^{3}+122x^{2}-296x+192-19x^{3}+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

合并 -19x^{3} 和 -19x^{3}，得到 -38x^{3}。

$$2x^{4}-38x^{3}+122x^{2}-296x+192+128x^{2}-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

合并 122x^{2} 和 128x^{2}，得到 250x^{2}。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-296x+192-356x+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

合并 -296x 和 -356x，得到 -652x。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+192+336=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

192 与 336 相加，得到 528。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x-8\right)\left(x-6\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x-8 乘以 x-6，并组合同类项。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{2}-14x+48\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{2}-14x+48 乘以 x-2，并组合同类项。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=\left(x^{3}-16x^{2}+76x-96\right)\left(x-3\right)+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{3}-16x^{2}+76x-96 乘以 x-3，并组合同类项。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x-8 乘以 x-4，并组合同类项。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{2}-12x+32\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{2}-12x+32 乘以 x-2，并组合同类项。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+\left(x^{3}-14x^{2}+56x-64\right)\left(x-5\right)$$

使用分配律将 x^{3}-14x^{2}+56x-64 乘以 x-5，并组合同类项。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288+x^{4}-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

合并 x^{4} 和 x^{4}，得到 2x^{4}。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-19x^{3}+124x^{2}-324x+288-19x^{3}+126x^{2}-344x+320$$

合并 -19x^{3} 和 -19x^{3}，得到 -38x^{3}。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+124x^{2}-324x+288+126x^{2}-344x+320$$

合并 124x^{2} 和 126x^{2}，得到 250x^{2}。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-324x+288-344x+320$$

合并 -324x 和 -344x，得到 -668x。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+288+320$$

288 与 320 相加，得到 608。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

将方程式两边同时减去 2x^{4}。

$$2x^{4}-38x^{3}+250x^{2}-652x+528-2x^{4}=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

合并 2x^{4} 和 -2x^{4}，得到 0。

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528=-38x^{3}+250x^{2}-668x+608$$

将 38x^{3} 添加到两侧。

$$-38x^{3}+250x^{2}-652x+528+38x^{3}=250x^{2}-668x+608$$

合并 -38x^{3} 和 38x^{3}，得到 0。

$$250x^{2}-652x+528=250x^{2}-668x+608$$

将方程式两边同时减去 250x^{2}。

$$250x^{2}-652x+528-250x^{2}=-668x+608$$

合并 250x^{2} 和 -250x^{2}，得到 0。

$$-652x+528=-668x+608$$

将 668x 添加到两侧。

$$-652x+528+668x=608$$

合并 -652x 和 668x，得到 16x。

$$16x+528=608$$

将方程式两边同时减去 528。

$$16x=608-528$$

将 608 减去 528，得到 80。

$$16x=80$$

两边同时除以 16。

$$x=\frac{80}{16}$$

80 除以 16 得 5。

$$x=5$$