求解 x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -\frac{1}{2},1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)\left(2x+1\right) 的最小公倍数 2x+1,x-1。

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

将 x-1 与 x-1 相乘，得到 \left(x-1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

将 2x+1 与 2x+1 相乘，得到 \left(2x+1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用分配律将 x-1 乘以 2x+1，并组合同类项。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

使用分配律将 2x^{2}-x-1 乘以 3。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

合并 4x^{2} 和 6x^{2}，得到 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

合并 4x 和 -3x，得到 x。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

将 1 减去 3，得到 -2。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

将方程式两边同时减去 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

合并 x^{2} 和 -10x^{2}，得到 -9x^{2}。

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

将方程式两边同时减去 x。

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

合并 -2x 和 -x，得到 -3x。

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

将 2 添加到两侧。

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

1 与 2 相加，得到 3。

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -9 替换 a，-3 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

对 -3 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

求 -4 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

求 36 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

将 108 加上 9。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

取 117 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3 的相反数是 3。

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

求 2 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} 的解。 将 3\sqrt{13} 加上 3。

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

3+3\sqrt{13} 除以 -18。

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} 的解。 将 3 减去 3\sqrt{13}。

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

3-3\sqrt{13} 除以 -18。

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -\frac{1}{2},1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)\left(2x+1\right) 的最小公倍数 2x+1,x-1。

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

将 x-1 与 x-1 相乘，得到 \left(x-1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

将 2x+1 与 2x+1 相乘，得到 \left(2x+1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用分配律将 x-1 乘以 2x+1，并组合同类项。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

使用分配律将 2x^{2}-x-1 乘以 3。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

合并 4x^{2} 和 6x^{2}，得到 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

合并 4x 和 -3x，得到 x。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

将 1 减去 3，得到 -2。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

将方程式两边同时减去 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

合并 x^{2} 和 -10x^{2}，得到 -9x^{2}。

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

将方程式两边同时减去 x。

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

合并 -2x 和 -x，得到 -3x。

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

将方程式两边同时减去 1。

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

将 -2 减去 1，得到 -3。

$$-9x^{2}-3x=-3$$

两边同时除以 -9。

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

除以 -9 是乘以 -9 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-3}{-9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-3}{-9} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{3} 除以 2 得 \frac{1}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

将 \frac{1}{36} 加上 \frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$