求解 frac{3-sqrt{2}}{(1-sqrt{5}}

$$\frac{ 3- \sqrt{ 2 } }{ (1- \sqrt{ 5 } }$$

求值

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}-3\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.282928177$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 1+\sqrt{5}，使 \frac{3-\sqrt{2}}{1-\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

对 1 进行平方运算。 对 \sqrt{5} 进行平方运算。

$$\frac{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{1-5}$$

将 1 减去 5，得到 -4。

$$\frac{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{-4}$$

应用分配律，将 3-\sqrt{2} 的每一项和 1+\sqrt{5} 的每一项分别相乘。

$$\frac{3+3\sqrt{5}-\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{5}}{-4}$$

若要将 \sqrt{2} 和 \sqrt{5} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{3+3\sqrt{5}-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{-4}$$

将分子和分母同时乘以 -1。

$$\frac{-3-3\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}$$