求解 frac{3+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac{ 3+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } }$$

求值

$$-5\sqrt{5}-11\approx -22.180339887$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{5}，使 \frac{3+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{5} 进行平方运算。

$$\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

将 4 减去 5，得到 -1。

$$\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

任何数除以 -1 都得它的相反数。

$$-\left(3+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)$$

应用分配律，将 3+\sqrt{5} 的每一项和 2+\sqrt{5} 的每一项分别相乘。

$$-\left(6+3\sqrt{5}+2\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

合并 3\sqrt{5} 和 2\sqrt{5}，得到 5\sqrt{5}。

$$-\left(6+5\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-\left(6+5\sqrt{5}+5\right)$$

6 与 5 相加，得到 11。

$$-\left(11+5\sqrt{5}\right)$$

要查找 11+5\sqrt{5} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-11-5\sqrt{5}$$