求解 frac{3sqrt{2}+sqrt{5}}{sqrt{2}+1}

$$\frac{ 3 \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } }{ \sqrt{ 2 } +1 }$$

求值

$$\sqrt{10}+6-\sqrt{5}-3\sqrt{2}\approx 2.683568996$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}-1，使 \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} 的分母有理化

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

对 \sqrt{2} 进行平方运算。 对 1 进行平方运算。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{2-1}$$

将 2 减去 1，得到 1。

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{1}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)$$

应用分配律，将 3\sqrt{2}+\sqrt{5} 的每一项和 \sqrt{2}-1 的每一项分别相乘。

$$3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$3\times 2-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

将 3 与 2 相乘，得到 6。

$$6-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

若要将 \sqrt{5} 和 \sqrt{2} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$6-3\sqrt{2}+\sqrt{10}-\sqrt{5}$$