求解 3/2-sqrt{3}+4/sqrt{3+1}

$$\frac{ 3 }{ 2- \sqrt{ 3 } } + \frac{ 4 }{ \sqrt{ 3 } +1 }$$

求值

$$5\sqrt{3}+4\approx 12.660254038$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{3}，使 \frac{3}{2-\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

将 4 减去 3，得到 1。

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}-1，使 \frac{4}{\sqrt{3}+1} 的分母有理化

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

对 \sqrt{3} 进行平方运算。 对 1 进行平方运算。

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

将 3 减去 1，得到 2。

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

4\left(\sqrt{3}-1\right) 除以 2 得 2\left(\sqrt{3}-1\right)。

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

使用分配律将 3 乘以 2+\sqrt{3}。

$$6+3\sqrt{3}+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

使用分配律将 2 乘以 \sqrt{3}-1。

$$6+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2$$

合并 3\sqrt{3} 和 2\sqrt{3}，得到 5\sqrt{3}。

$$6+5\sqrt{3}-2$$

将 6 减去 2，得到 4。

$$4+5\sqrt{3}$$