求解 3/sqrt{5}-frac{2+sqrt{5}}{3sqrt{5}-5}

$$\frac{ 3 }{ \sqrt{ 5 } } - \frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 3 \sqrt{ 5 } -5 }$$

求值

$$\frac{\sqrt{5}-25}{20}\approx -1.138196601$$

简短求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{5}，使 \frac{3}{\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{3\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{2+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-5}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{2+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-5}$$

通过将分子和分母乘以 3\sqrt{5}+5，使 \frac{2+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-5} 的分母有理化

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{\left(3\sqrt{5}-5\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}$$

请考虑 \left(3\sqrt{5}-5\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

展开 \left(3\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

计算 2 的 3 乘方，得到 9。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{9\times 5-5^{2}}$$

将 9 与 5 相乘，得到 45。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{45-5^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{45-25}$$

将 45 减去 25，得到 20。

$$\frac{3\sqrt{5}}{5}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{20}$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 5 和 20 的最小公倍数是 20。 求 \frac{3\sqrt{5}}{5} 与 \frac{4}{4} 的乘积。

$$\frac{4\times 3\sqrt{5}}{20}-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{20}$$

由于 \frac{4\times 3\sqrt{5}}{20} 和 \frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{20} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{4\times 3\sqrt{5}-\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right)}{20}$$

完成 4\times 3\sqrt{5}-\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3\sqrt{5}+5\right) 中的乘法运算。

$$\frac{12\sqrt{5}-6\sqrt{5}-10-15-5\sqrt{5}}{20}$$

完成 12\sqrt{5}-6\sqrt{5}-10-15-5\sqrt{5} 中的计算。

$$\frac{\sqrt{5}-25}{20}$$