求解 frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

求解 b 的值

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

求解根式方程的步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{5}，使 \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{5} 进行平方运算。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

将 4 减去 5，得到 -1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

将 2+\sqrt{5} 与 2+\sqrt{5} 相乘，得到 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

任何数除以 -1 都得它的相反数。 要查找 9+4\sqrt{5} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

通过将分子和分母乘以 2-\sqrt{5}，使 \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} 的分母有理化

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

请考虑 \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{5} 进行平方运算。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

将 4 减去 5，得到 -1。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

将 2-\sqrt{5} 与 2-\sqrt{5} 相乘，得到 \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

任何数除以 -1 都得它的相反数。 要查找 9-4\sqrt{5} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

将 -9 减去 9，得到 -18。

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

合并 -4\sqrt{5} 和 4\sqrt{5}，得到 0。

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

将方程式两边同时减去 a。

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

求解 a 的值

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$