求解 frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

求值

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{3}，使 \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

将 4 减去 3，得到 1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

将 2+\sqrt{3} 与 2+\sqrt{3} 相乘，得到 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

通过将分子和分母乘以 2-\sqrt{3}，使 \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

将 4 减去 3，得到 1。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

将 2-\sqrt{3} 与 2-\sqrt{3} 相乘，得到 \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

4 与 3 相加，得到 7。

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}。

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

4 与 3 相加，得到 7。

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

要查找 7-4\sqrt{3} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

-4\sqrt{3} 的相反数是 4\sqrt{3}。

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

将 7 减去 7，得到 0。

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

合并 4\sqrt{3} 和 4\sqrt{3}，得到 8\sqrt{3}。

$$8\sqrt{3}$$