求解 frac{2sqrt{2}}{5-2sqrt{6}}

$$\frac{ 2 \sqrt{ 2 } }{ 5-2 \sqrt{ 6 } }$$

求值

$$8\sqrt{3}+10\sqrt{2}\approx 27.998542084$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 5+2\sqrt{6}，使 \frac{2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{6}} 的分母有理化

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+2\sqrt{6}\right)}$$

请考虑 \left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+2\sqrt{6}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{5^{2}-\left(-2\sqrt{6}\right)^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{25-\left(-2\sqrt{6}\right)^{2}}$$

展开 \left(-2\sqrt{6}\right)^{2}。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{25-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{25-4\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{25-4\times 6}$$

将 4 与 6 相乘，得到 24。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{25-24}$$

将 25 减去 24，得到 1。

$$\frac{2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)}{1}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$2\sqrt{2}\left(5+2\sqrt{6}\right)$$

使用分配律将 2\sqrt{2} 乘以 5+2\sqrt{6}。

$$10\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{6}$$

因式分解 6=2\times 3。 将乘积 \sqrt{2\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{2}\sqrt{3} 的乘积。

$$10\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}$$

将 \sqrt{2} 与 \sqrt{2} 相乘，得到 2。

$$10\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{3}$$

将 4 与 2 相乘，得到 8。

$$10\sqrt{2}+8\sqrt{3}$$