求解 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4.215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2.45141623$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 2,3。 将公式两边同时乘以 \left(x-3\right)\left(x-2\right) 的最小公倍数 x-3,x-2。

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-2 乘以 2。

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-3 乘以 3。

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合并 2x 和 3x，得到 5x。

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

将 -4 减去 9，得到 -13。

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 3 乘以 x-3。

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 3x-9 乘以 x-2，并组合同类项。

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

将方程式两边同时减去 3x^{2}。

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

将 15x 添加到两侧。

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

合并 5x 和 15x，得到 20x。

$$20x-13-3x^{2}=18$$

将方程式两边同时减去 18。

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

将 -13 减去 18，得到 -31。

$$20x-31-3x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -3 替换 a，20 替换 b，并用 -31 替换 c。

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

对 20 进行平方运算。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

求 -4 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

求 12 与 -31 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

将 -372 加上 400。

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

取 28 的平方根。

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

求 2 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} 的解。 将 2\sqrt{7} 加上 -20。

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20+2\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} 的解。 将 -20 减去 2\sqrt{7}。

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20-2\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 2,3。 将公式两边同时乘以 \left(x-3\right)\left(x-2\right) 的最小公倍数 x-3,x-2。

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-2 乘以 2。

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-3 乘以 3。

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合并 2x 和 3x，得到 5x。

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

将 -4 减去 9，得到 -13。

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 3 乘以 x-3。

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 3x-9 乘以 x-2，并组合同类项。

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

将方程式两边同时减去 3x^{2}。

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

将 15x 添加到两侧。

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

合并 5x 和 15x，得到 20x。

$$20x-13-3x^{2}=18$$

将 13 添加到两侧。

$$20x-3x^{2}=18+13$$

18 与 13 相加，得到 31。

$$20x-3x^{2}=31$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-3x^{2}+20x=31$$

两边同时除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

除以 -3 是乘以 -3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

20 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

31 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{20}{3} 除以 2 得 -\frac{10}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{10}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{10}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

将 \frac{100}{9} 加上 -\frac{31}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{10}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$