求解 14/5sqrt{3-sqrt{5}}

$$\frac{ 14 }{ 5 \sqrt{ 3 } - \sqrt{ 5 } }$$

求值

$$\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{15}+1\right)}{5}\approx 2.179264403$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 5\sqrt{3}+\sqrt{5}，使 \frac{14}{5\sqrt{3}-\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(5\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展开 \left(5\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 5 乘方，得到 25。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{25\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{25\times 3-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

将 25 与 3 相乘，得到 75。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{75-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{75-5}$$

将 75 减去 5，得到 70。

$$\frac{14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{70}$$

14\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right) 除以 70 得 \frac{1}{5}\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)。

$$\frac{1}{5}\left(5\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{5} 乘以 5\sqrt{3}+\sqrt{5}。

$$\frac{1}{5}\times 5\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5}$$

消去 5 和 5。

$$\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5}$$