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求解 x 的值
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\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0
形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解,方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解,一个是当 ± 取加号时的解,另一个是取减号时的解。
x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}
此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 \frac{1}{9} 替换 a,1 替换 b,并用 \frac{9}{4} 替换 c。
x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times \frac{1}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}
对 1 进行平方运算。
x=\frac{-1±\sqrt{1-\frac{4}{9}\times \frac{9}{4}}}{2\times \frac{1}{9}}
求 -4 与 \frac{1}{9} 的乘积。
x=\frac{-1±\sqrt{1-1}}{2\times \frac{1}{9}}
-\frac{4}{9} 乘以 \frac{9}{4} 的计算方法是,将两数分子与分子相乘得到分子,分母与分母相乘得到分母。如果可能,将所得分数化为最简分数。
x=\frac{-1±\sqrt{0}}{2\times \frac{1}{9}}
将 -1 加上 1。
x=-\frac{1}{2\times \frac{1}{9}}
取 0 的平方根。
x=-\frac{1}{\frac{2}{9}}
求 2 与 \frac{1}{9} 的乘积。
x=-\frac{9}{2}
-1 除以 \frac{2}{9} 的计算方法是用 -1 乘以 \frac{2}{9} 的倒数。
\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}=0
这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式,等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。
\frac{1}{9}x^{2}+x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=-\frac{9}{4}
将等式的两边同时减去 \frac{9}{4}。
\frac{1}{9}x^{2}+x=-\frac{9}{4}
\frac{9}{4} 减去它自己得 0。
\frac{\frac{1}{9}x^{2}+x}{\frac{1}{9}}=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}
将两边同时乘以 9。
x^{2}+\frac{1}{\frac{1}{9}}x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}
除以 \frac{1}{9} 是乘以 \frac{1}{9} 的逆运算。
x^{2}+9x=-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{9}}
1 除以 \frac{1}{9} 的计算方法是用 1 乘以 \frac{1}{9} 的倒数。
x^{2}+9x=-\frac{81}{4}
-\frac{9}{4} 除以 \frac{1}{9} 的计算方法是用 -\frac{9}{4} 乘以 \frac{1}{9} 的倒数。
x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{81}{4}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}
将 x 项的系数 9 除以 2 得 \frac{9}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{9}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。
x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{-81+81}{4}
对 \frac{9}{2} 进行平方运算,方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。
x^{2}+9x+\frac{81}{4}=0
将 \frac{81}{4} 加上 -\frac{81}{4},计算方法是寻找公分母,加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。
\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=0
因数 x^{2}+9x+\frac{81}{4}。一般说来,当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时,它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}
对方程两边同时取平方根。
x+\frac{9}{2}=0 x+\frac{9}{2}=0
化简。
x=-\frac{9}{2} x=-\frac{9}{2}
将等式的两边同时减去 \frac{9}{2}。
x=-\frac{9}{2}
现已求得方程式的解。 解是相同的。