求解 1/4(x+1)(x-1)(x-1)(x+1)+x^2=1/4(x^2+1)(x^2+1)

$$\frac{ 1 }{ 4 } (x+1)(x-1)(x-1)(x+1)+ { x }^{ 2 } = \frac{ 1 }{ 4 } ( { x }^{ 2 } +1)( { x }^{ 2 } +1)$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x\in \mathrm{C}$$

求解步骤

将 x+1 与 x+1 相乘，得到 \left(x+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)\left(x-1\right)+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

将 x-1 与 x-1 相乘，得到 \left(x-1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)^{2}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

将 x^{2}+1 与 x^{2}+1 相乘，得到 \left(x^{2}+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)^{2}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x-1\right)^{2}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用分配律将 \frac{1}{4} 乘以 x^{2}+2x+1。

$$\left(\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用分配律将 \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} 乘以 x^{2}-2x+1，并组合同类项。

$$\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

合并 -\frac{1}{2}x^{2} 和 x^{2}，得到 \frac{1}{2}x^{2}。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x^{2}+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}+1\right)$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{4} 乘以 x^{4}+2x^{2}+1。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{1}{4}x^{4}。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x^{4}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$$

合并 \frac{1}{4}x^{4} 和 -\frac{1}{4}x^{4}，得到 0。

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{1}{2}x^{2}。

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{4}$$

合并 \frac{1}{2}x^{2} 和 -\frac{1}{2}x^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

比较 \frac{1}{4} 和 \frac{1}{4}。

$$\text{true}$$

这适用于所有 x。

$$x\in \mathrm{C}$$

求解 x 的值

$$x\in \mathrm{R}$$

求解步骤

将 x+1 与 x+1 相乘，得到 \left(x+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)\left(x-1\right)+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

将 x-1 与 x-1 相乘，得到 \left(x-1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)^{2}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

将 x^{2}+1 与 x^{2}+1 相乘，得到 \left(x^{2}+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{2}\left(x-1\right)^{2}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x-1\right)^{2}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用分配律将 \frac{1}{4} 乘以 x^{2}+2x+1。

$$\left(\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)\left(x^{2}-2x+1\right)+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用分配律将 \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} 乘以 x^{2}-2x+1，并组合同类项。

$$\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}+x^{2}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

合并 -\frac{1}{2}x^{2} 和 x^{2}，得到 \frac{1}{2}x^{2}。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(x^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x^{2}+1\right)^{2}。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}+1\right)$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)$$

使用分配律将 \frac{1}{4} 乘以 x^{4}+2x^{2}+1。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{1}{4}x^{4}。

$$\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}x^{4}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$$

合并 \frac{1}{4}x^{4} 和 -\frac{1}{4}x^{4}，得到 0。

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{1}{2}x^{2}。

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{4}$$

合并 \frac{1}{2}x^{2} 和 -\frac{1}{2}x^{2}，得到 0。

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

比较 \frac{1}{4} 和 \frac{1}{4}。

$$\text{true}$$

这适用于所有 x。

$$x\in \mathrm{R}$$