求解 1/205x^2-4x+1=0

$$\frac{ 1 }{ 205 } { x }^{ 2 } -4x+1=0$$

求解 x 的值

$$x=3\sqrt{18655}+410\approx 819.749923734$$

$$x=410-3\sqrt{18655}\approx 0.250076266$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$\frac{1}{205}x^{2}-4x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 \frac{1}{205} 替换 a，-4 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{1}{205}}}{2\times \frac{1}{205}}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{1}{205}}}{2\times \frac{1}{205}}$$

求 -4 与 \frac{1}{205} 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-\frac{4}{205}}}{2\times \frac{1}{205}}$$

将 -\frac{4}{205} 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\frac{3276}{205}}}{2\times \frac{1}{205}}$$

取 \frac{3276}{205} 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\frac{6\sqrt{18655}}{205}}{2\times \frac{1}{205}}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±\frac{6\sqrt{18655}}{205}}{2\times \frac{1}{205}}$$

求 2 与 \frac{1}{205} 的乘积。

$$x=\frac{4±\frac{6\sqrt{18655}}{205}}{\frac{2}{205}}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±\frac{6\sqrt{18655}}{205}}{\frac{2}{205}} 的解。 将 \frac{6\sqrt{18655}}{205} 加上 4。

$$x=\frac{\frac{6\sqrt{18655}}{205}+4}{\frac{2}{205}}$$

4+\frac{6\sqrt{18655}}{205} 除以 \frac{2}{205} 的计算方法是用 4+\frac{6\sqrt{18655}}{205} 乘以 \frac{2}{205} 的倒数。

$$x=3\sqrt{18655}+410$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±\frac{6\sqrt{18655}}{205}}{\frac{2}{205}} 的解。 将 4 减去 \frac{6\sqrt{18655}}{205}。

$$x=\frac{-\frac{6\sqrt{18655}}{205}+4}{\frac{2}{205}}$$

4-\frac{6\sqrt{18655}}{205} 除以 \frac{2}{205} 的计算方法是用 4-\frac{6\sqrt{18655}}{205} 乘以 \frac{2}{205} 的倒数。

$$x=410-3\sqrt{18655}$$

现已求得方程式的解。

$$x=3\sqrt{18655}+410 x=410-3\sqrt{18655}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$\frac{1}{205}x^{2}-4x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$\frac{1}{205}x^{2}-4x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$\frac{1}{205}x^{2}-4x=-1$$

将两边同时乘以 205。

$$\frac{\frac{1}{205}x^{2}-4x}{\frac{1}{205}}=-\frac{1}{\frac{1}{205}}$$

除以 \frac{1}{205} 是乘以 \frac{1}{205} 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{1}{205}}\right)x=-\frac{1}{\frac{1}{205}}$$

-4 除以 \frac{1}{205} 的计算方法是用 -4 乘以 \frac{1}{205} 的倒数。

$$x^{2}-820x=-\frac{1}{\frac{1}{205}}$$

-1 除以 \frac{1}{205} 的计算方法是用 -1 乘以 \frac{1}{205} 的倒数。

$$x^{2}-820x=-205$$

将 x 项的系数 -820 除以 2 得 -410。然后在等式两边同时加上 -410 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-820x+\left(-410\right)^{2}=-205+\left(-410\right)^{2}$$

对 -410 进行平方运算。

$$x^{2}-820x+168100=-205+168100$$

将 168100 加上 -205。

$$x^{2}-820x+168100=167895$$

因数 x^{2}-820x+168100。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-410\right)^{2}=167895$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-410\right)^{2}}=\sqrt{167895}$$

化简。

$$x-410=3\sqrt{18655} x-410=-3\sqrt{18655}$$

在等式两边同时加 410。

$$x=3\sqrt{18655}+410 x=410-3\sqrt{18655}$$