求解 frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

求值

$$5-3\sqrt{2}\approx 0.757359313$$

求解步骤

使用分配律将 \sqrt{2} 乘以 4-\sqrt{2}。

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

使用分配律将 2 乘以 \sqrt{2}+1。

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

通过将分子和分母乘以 2\sqrt{2}-2，使 \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} 的分母有理化

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

请考虑 \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

展开 \left(2\sqrt{2}\right)^{2}。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

将 4 与 2 相乘，得到 8。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

将 8 减去 4，得到 4。

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

应用分配律，将 4\sqrt{2}-2 的每一项和 2\sqrt{2}-2 的每一项分别相乘。

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

将 8 与 2 相乘，得到 16。

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

合并 -8\sqrt{2} 和 -4\sqrt{2}，得到 -12\sqrt{2}。

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

16 与 4 相加，得到 20。

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

20-12\sqrt{2} 的每项除以 4 得 5-3\sqrt{2}。

$$5-3\sqrt{2}$$