求解 frac{sqrt{2}}{2}2+1/sqrt{3}=3x^2+15/sqrt{3}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } 2+ \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } = \frac{ 3 { x }^{ 2 } +15 }{ \sqrt{ 3 } }$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3}\approx -0-1.962185028i$$

$$x=\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3}\approx 1.962185028i$$

通过找平方根实现的步骤

将方程式的两边同时乘以 2。

$$2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}\left(3x^{2}+15\right)$$

使用分配律将 \frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}} 乘以 3x^{2}+15。

$$2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+10\times 3^{\frac{1}{2}}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+10\times 3^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

将方程式两边同时减去 10\times 3^{\frac{1}{2}}。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}=2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}-10\times 3^{\frac{1}{2}}$$

合并 \frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}} 和 -10\times 3^{\frac{1}{2}}，得到 -\frac{28}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}=2\sqrt{2}-\frac{28}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

重新排列各项的顺序。

$$2\sqrt{3}x^{2}=-\frac{28}{3}\sqrt{3}+2\sqrt{2}$$

除以 2\sqrt{3} 是乘以 2\sqrt{3} 的逆运算。

$$x^{2}=\frac{-\frac{28\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$$

-\frac{28\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2} 除以 2\sqrt{3}。

$$x^{2}=\frac{\sqrt{6}-14}{3}$$

对方程两边同时取平方根。

$$x=\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3} x=-\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3}$$

运用二次公式的步骤

将方程式的两边同时乘以 2。

$$2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}\left(3x^{2}+15\right)$$

使用分配律将 \frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}} 乘以 3x^{2}+15。

$$2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+10\times 3^{\frac{1}{2}}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+10\times 3^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

将方程式两边同时减去 2\sqrt{2}。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+10\times 3^{\frac{1}{2}}-2\sqrt{2}=\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

将方程式两边同时减去 \frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+10\times 3^{\frac{1}{2}}-2\sqrt{2}-\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=0$$

合并 10\times 3^{\frac{1}{2}} 和 -\frac{2}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}，得到 \frac{28}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}。

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}x^{2}+\frac{28}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}-2\sqrt{2}=0$$

重新排列各项的顺序。

$$2\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{2}+\frac{28}{3}\sqrt{3}=0$$

像这样具有 x^{2} 项但不具有 x 项的二次方程式仍然可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 求解，只要将其转换为标准形式 ax^{2}+bx+c=0 即可。

$$2\sqrt{3}x^{2}+\frac{28\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2\sqrt{3} 替换 a，0 替换 b，并用 -2\sqrt{2}+\frac{28\sqrt{3}}{3} 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 2\sqrt{3}\left(\frac{28\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}\right)}}{2\times 2\sqrt{3}}$$

对 0 进行平方运算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\times 2\sqrt{3}\left(\frac{28\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}\right)}}{2\times 2\sqrt{3}}$$

求 -4 与 2\sqrt{3} 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-8\sqrt{3}\right)\left(\frac{28\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}\right)}}{2\times 2\sqrt{3}}$$

求 -8\sqrt{3} 与 -2\sqrt{2}+\frac{28\sqrt{3}}{3} 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{16\sqrt{6}-224}}{2\times 2\sqrt{3}}$$

取 16\sqrt{6}-224 的平方根。

$$x=\frac{0±4i\sqrt{14-\sqrt{6}}}{2\times 2\sqrt{3}}$$

求 2 与 2\sqrt{3} 的乘积。

$$x=\frac{0±4i\sqrt{14-\sqrt{6}}}{4\sqrt{3}}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{0±4i\sqrt{14-\sqrt{6}}}{4\sqrt{3}} 的解。

$$x=\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{0±4i\sqrt{14-\sqrt{6}}}{4\sqrt{3}} 的解。

$$x=-\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3} x=-\frac{i\sqrt{42-3\sqrt{6}}}{3}$$