求解 frac{sqrt{14}+2}{1-sqrt{7}}

$$\frac{ \sqrt{ 14 } +2 }{ 1- \sqrt{ 7 } }$$

求值

$$-\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{\sqrt{14}}{6}-\frac{7\sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\approx -3.488775824$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 1+\sqrt{7}，使 \frac{\sqrt{14}+2}{1-\sqrt{7}} 的分母有理化

$$\frac{\left(\sqrt{14}+2\right)\left(1+\sqrt{7}\right)}{\left(1-\sqrt{7}\right)\left(1+\sqrt{7}\right)}$$

请考虑 \left(1-\sqrt{7}\right)\left(1+\sqrt{7}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{14}+2\right)\left(1+\sqrt{7}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

对 1 进行平方运算。 对 \sqrt{7} 进行平方运算。

$$\frac{\left(\sqrt{14}+2\right)\left(1+\sqrt{7}\right)}{1-7}$$

将 1 减去 7，得到 -6。

$$\frac{\left(\sqrt{14}+2\right)\left(1+\sqrt{7}\right)}{-6}$$

应用分配律，将 \sqrt{14}+2 的每一项和 1+\sqrt{7} 的每一项分别相乘。

$$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{14}\sqrt{7}+2+2\sqrt{7}}{-6}$$

因式分解 14=7\times 2。 将乘积 \sqrt{7\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{7}\sqrt{2} 的乘积。

$$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{7}\sqrt{2}\sqrt{7}+2+2\sqrt{7}}{-6}$$

将 \sqrt{7} 与 \sqrt{7} 相乘，得到 7。

$$\frac{\sqrt{14}+7\sqrt{2}+2+2\sqrt{7}}{-6}$$

将分子和分母同时乘以 -1。

$$\frac{-\sqrt{14}-7\sqrt{2}-2-2\sqrt{7}}{6}$$