求解 x-8/x-10+x-4/x-6=x-5/x-7+x-7/x-9

$$\frac { x - 8 } { x - 10 } + \frac { x - 4 } { x - 6 } = \frac { x - 5 } { x - 7 } + \frac { x - 7 } { x - 9 }$$

求解 x 的值

$$x=8$$

求解线性方程的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 6,7,9,10。 将公式两边同时乘以 \left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right) 的最小公倍数 x-10,x-6,x-7,x-9。

$$\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-8\right)+\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-4\right)=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

使用分配律将 x-9 乘以 x-7，并组合同类项。

$$\left(x^{2}-16x+63\right)\left(x-6\right)\left(x-8\right)+\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-4\right)=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

使用分配律将 x^{2}-16x+63 乘以 x-6，并组合同类项。

$$\left(x^{3}-22x^{2}+159x-378\right)\left(x-8\right)+\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-4\right)=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

使用分配律将 x^{3}-22x^{2}+159x-378 乘以 x-8，并组合同类项。

$$x^{4}-30x^{3}+335x^{2}-1650x+3024+\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-7\right)\left(x-4\right)=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

使用分配律将 x-10 乘以 x-9，并组合同类项。

$$x^{4}-30x^{3}+335x^{2}-1650x+3024+\left(x^{2}-19x+90\right)\left(x-7\right)\left(x-4\right)=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

使用分配律将 x^{2}-19x+90 乘以 x-7，并组合同类项。

$$x^{4}-30x^{3}+335x^{2}-1650x+3024+\left(x^{3}-26x^{2}+223x-630\right)\left(x-4\right)=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

使用分配律将 x^{3}-26x^{2}+223x-630 乘以 x-4，并组合同类项。

$$x^{4}-30x^{3}+335x^{2}-1650x+3024+x^{4}-30x^{3}+327x^{2}-1522x+2520=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

合并 x^{4} 和 x^{4}，得到 2x^{4}。

$$2x^{4}-30x^{3}+335x^{2}-1650x+3024-30x^{3}+327x^{2}-1522x+2520=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

合并 -30x^{3} 和 -30x^{3}，得到 -60x^{3}。

$$2x^{4}-60x^{3}+335x^{2}-1650x+3024+327x^{2}-1522x+2520=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

合并 335x^{2} 和 327x^{2}，得到 662x^{2}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-1650x+3024-1522x+2520=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

合并 -1650x 和 -1522x，得到 -3172x。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+3024+2520=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

3024 与 2520 相加，得到 5544。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)$$

将 x-7 与 x-7 相乘，得到 \left(x-7\right)^{2}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=\left(x-10\right)\left(x-9\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)^{2}\left(x-6\right)$$

使用分配律将 x-10 乘以 x-9，并组合同类项。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=\left(x^{2}-19x+90\right)\left(x-6\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)^{2}\left(x-6\right)$$

使用分配律将 x^{2}-19x+90 乘以 x-6，并组合同类项。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=\left(x^{3}-25x^{2}+204x-540\right)\left(x-5\right)+\left(x-10\right)\left(x-7\right)^{2}\left(x-6\right)$$

使用分配律将 x^{3}-25x^{2}+204x-540 乘以 x-5，并组合同类项。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=x^{4}-30x^{3}+329x^{2}-1560x+2700+\left(x-10\right)\left(x-7\right)^{2}\left(x-6\right)$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x-7\right)^{2}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=x^{4}-30x^{3}+329x^{2}-1560x+2700+\left(x-10\right)\left(x^{2}-14x+49\right)\left(x-6\right)$$

使用分配律将 x-10 乘以 x^{2}-14x+49，并组合同类项。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=x^{4}-30x^{3}+329x^{2}-1560x+2700+\left(x^{3}-24x^{2}+189x-490\right)\left(x-6\right)$$

使用分配律将 x^{3}-24x^{2}+189x-490 乘以 x-6，并组合同类项。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=x^{4}-30x^{3}+329x^{2}-1560x+2700+x^{4}-30x^{3}+333x^{2}-1624x+2940$$

合并 x^{4} 和 x^{4}，得到 2x^{4}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=2x^{4}-30x^{3}+329x^{2}-1560x+2700-30x^{3}+333x^{2}-1624x+2940$$

合并 -30x^{3} 和 -30x^{3}，得到 -60x^{3}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=2x^{4}-60x^{3}+329x^{2}-1560x+2700+333x^{2}-1624x+2940$$

合并 329x^{2} 和 333x^{2}，得到 662x^{2}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-1560x+2700-1624x+2940$$

合并 -1560x 和 -1624x，得到 -3184x。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3184x+2700+2940$$

2700 与 2940 相加，得到 5640。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3184x+5640$$

将方程式两边同时减去 2x^{4}。

$$2x^{4}-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544-2x^{4}=-60x^{3}+662x^{2}-3184x+5640$$

合并 2x^{4} 和 -2x^{4}，得到 0。

$$-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544=-60x^{3}+662x^{2}-3184x+5640$$

将 60x^{3} 添加到两侧。

$$-60x^{3}+662x^{2}-3172x+5544+60x^{3}=662x^{2}-3184x+5640$$

合并 -60x^{3} 和 60x^{3}，得到 0。

$$662x^{2}-3172x+5544=662x^{2}-3184x+5640$$

将方程式两边同时减去 662x^{2}。

$$662x^{2}-3172x+5544-662x^{2}=-3184x+5640$$

合并 662x^{2} 和 -662x^{2}，得到 0。

$$-3172x+5544=-3184x+5640$$

将 3184x 添加到两侧。

$$-3172x+5544+3184x=5640$$

合并 -3172x 和 3184x，得到 12x。

$$12x+5544=5640$$

将方程式两边同时减去 5544。

$$12x=5640-5544$$

将 5640 减去 5544，得到 96。

$$12x=96$$

两边同时除以 12。

$$x=\frac{96}{12}$$

96 除以 12 得 8。

$$x=8$$