求解 x/x-1=3x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

求解 x 的值

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于 1。 将方程式的两边同时乘以 x-1。

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

使用分配律将 3x 乘以 x-1。

$$x=3x^{2}-3x+1$$

将方程式两边同时减去 3x^{2}。

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

将 3x 添加到两侧。

$$x-3x^{2}+3x=1$$

合并 x 和 3x，得到 4x。

$$4x-3x^{2}=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$4x-3x^{2}-1=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -3 替换 a，4 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

求 -4 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

求 12 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

将 -12 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

取 4 的平方根。

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

求 2 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±2}{-6} 的解。 将 2 加上 -4。

$$x=-\frac{2}{-6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{-6} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±2}{-6} 的解。 将 -4 减去 2。

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6 除以 -6。

$$x=1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

变量 x 不能等于 1。

$$x=\frac{1}{3}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于 1。 将方程式的两边同时乘以 x-1。

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

使用分配律将 3x 乘以 x-1。

$$x=3x^{2}-3x+1$$

将方程式两边同时减去 3x^{2}。

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

将 3x 添加到两侧。

$$x-3x^{2}+3x=1$$

合并 x 和 3x，得到 4x。

$$4x-3x^{2}=1$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-3x^{2}+4x=1$$

两边同时除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

除以 -3 是乘以 -3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

4 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

1 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{3} 除以 2 得 -\frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 -\frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{3}。

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

变量 x 不能等于 1。

$$x=\frac{1}{3}$$