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关于 x 的微分
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
对于函数 f\left(x\right),导数是指当 h 无限趋于 0 时 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的极限,如果该极限存在的话。
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
使用和的正弦公式。
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
因式分解出 \sin(x)。
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
改写该极限。
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
当计算 h 趋近于 0 时的极限时,使用 x 是一个常数这一事实。
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
极限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} 为 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
要求值极限 \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h},首先将分子和分母同时乘以 \cos(h)+1。
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
求 \cos(h)+1 与 \cos(h)-1 的乘积。
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
使用勾股定理。
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
改写该极限。
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
极限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} 为 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
运用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 处是连续的这一事实。
\cos(x)
将值 0 替换到表达式 \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x) 中。