求解 frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

求解 k 的值

$$k=-1$$

$$k=1$$

运用二次公式的步骤

将公式两边同时乘以 4\left(3k^{2}+1\right)^{2} 的最小公倍数 \left(3k^{2}+1\right)^{2},4。

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(k^{2}+1\right)^{2}。

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

使用分配律将 6 乘以 k^{4}+2k^{2}+1。

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(3k^{2}-1\right)^{2}。

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

要查找 9k^{4}-6k^{2}+1 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

合并 6k^{4} 和 -9k^{4}，得到 -3k^{4}。

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

合并 12k^{2} 和 6k^{2}，得到 18k^{2}。

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

将 6 减去 1，得到 5。

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

使用分配律将 4 乘以 -3k^{4}+18k^{2}+5。

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(3k^{2}+1\right)^{2}。

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

使用分配律将 5 乘以 9k^{4}+6k^{2}+1。

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

将方程式两边同时减去 45k^{4}。

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

合并 -12k^{4} 和 -45k^{4}，得到 -57k^{4}。

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

将方程式两边同时减去 30k^{2}。

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

合并 72k^{2} 和 -30k^{2}，得到 42k^{2}。

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

将方程式两边同时减去 5。

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

将 20 减去 5，得到 15。

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

将 t 替换为 k^{2}。

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 -57、用 42 替换 b、用 15 替换 c。

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

完成计算。

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{-42±72}{-114} 的解。

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

从 k=t^{2} 以来，解决方案是通过计算积极 t k=±\sqrt{t} 获得的。

$$k=1 k=-1$$

求解 k 的值 (复数求解)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0.512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0.512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$