求解 frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

求值

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4.936685734$$

求解步骤

因式分解 27=3^{2}\times 3。 将乘积 \sqrt{3^{2}\times 3} 的平方根重写为平方根 \sqrt{3^{2}}\sqrt{3} 的乘积。 取 3^{2} 的平方根。

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

通过将分子和分母乘以 4+\sqrt{3}，使 \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

对 4 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

将 16 减去 3，得到 13。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

应用分配律，将 6+3\sqrt{3} 的每一项和 4+\sqrt{3} 的每一项分别相乘。

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

合并 6\sqrt{3} 和 12\sqrt{3}，得到 18\sqrt{3}。

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

将 3 与 3 相乘，得到 9。

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

24 与 9 相加，得到 33。

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$