求解 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3.579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1.920843802$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 2,3。 将公式两边同时乘以 \left(x-3\right)\left(x-2\right) 的最小公倍数 x-3,x-2。

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-2 乘以 5。

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-3 乘以 x-1，并组合同类项。

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

要查找 x^{2}-4x+3 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合并 5x 和 4x，得到 9x。

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

将 -10 减去 3，得到 -13。

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 7 乘以 x-3。

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 7x-21 乘以 x-2，并组合同类项。

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

将方程式两边同时减去 7x^{2}。

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

合并 -x^{2} 和 -7x^{2}，得到 -8x^{2}。

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

将 35x 添加到两侧。

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

合并 9x 和 35x，得到 44x。

$$44x-13-8x^{2}=42$$

将方程式两边同时减去 42。

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

将 -13 减去 42，得到 -55。

$$44x-55-8x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -8 替换 a，44 替换 b，并用 -55 替换 c。

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

对 44 进行平方运算。

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

求 -4 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

求 32 与 -55 的乘积。

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

将 -1760 加上 1936。

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

取 176 的平方根。

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

求 2 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} 的解。 将 4\sqrt{11} 加上 -44。

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44+4\sqrt{11} 除以 -16。

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} 的解。 将 -44 减去 4\sqrt{11}。

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

-44-4\sqrt{11} 除以 -16。

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: 2,3。 将公式两边同时乘以 \left(x-3\right)\left(x-2\right) 的最小公倍数 x-3,x-2。

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-2 乘以 5。

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 x-3 乘以 x-1，并组合同类项。

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

要查找 x^{2}-4x+3 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合并 5x 和 4x，得到 9x。

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

将 -10 减去 3，得到 -13。

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 7 乘以 x-3。

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

使用分配律将 7x-21 乘以 x-2，并组合同类项。

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

将方程式两边同时减去 7x^{2}。

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

合并 -x^{2} 和 -7x^{2}，得到 -8x^{2}。

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

将 35x 添加到两侧。

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

合并 9x 和 35x，得到 44x。

$$44x-13-8x^{2}=42$$

将 13 添加到两侧。

$$44x-8x^{2}=42+13$$

42 与 13 相加，得到 55。

$$44x-8x^{2}=55$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-8x^{2}+44x=55$$

两边同时除以 -8。

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

除以 -8 是乘以 -8 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{44}{-8} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

55 除以 -8。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

将 x 项的系数 -\frac{11}{2} 除以 2 得 -\frac{11}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

将 \frac{121}{16} 加上 -\frac{55}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

因数 x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$