求解 5/2sqrt{7-2sqrt{5}}

$$\frac { 5 } { 2 \sqrt { 7 } - 2 \sqrt { 5 } }$$

求值

$$\frac{5\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)}{4}\approx 6.102274111$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2\sqrt{7}+2\sqrt{5}，使 \frac{5}{2\sqrt{7}-2\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{7}-2\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(2\sqrt{7}-2\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{\left(2\sqrt{7}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展开 \left(2\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{2^{2}\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{4\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{4\times 7-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

将 4 与 7 相乘，得到 28。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{28-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展开 \left(-2\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{28-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -2 乘方，得到 4。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{28-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{28-4\times 5}$$

将 4 与 5 相乘，得到 20。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{28-20}$$

将 28 减去 20，得到 8。

$$\frac{5\left(2\sqrt{7}+2\sqrt{5}\right)}{8}$$

使用分配律将 5 乘以 2\sqrt{7}+2\sqrt{5}。

$$\frac{10\sqrt{7}+10\sqrt{5}}{8}$$