求解 frac{4*(6-3sqrt{3})^2+1}{12-6sqrt{3}}

$$\frac { 4 \times ( 6 - 3 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 1 } { 12 - 6 \sqrt { 3 } }$$

求值

$$-\frac{35\sqrt{3}}{6}+\frac{37}{3}\approx 2.229703623$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(6-3\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{4\left(36-36\sqrt{3}+9\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)+1}{12-6\sqrt{3}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{4\left(36-36\sqrt{3}+9\times 3\right)+1}{12-6\sqrt{3}}$$

将 9 与 3 相乘，得到 27。

$$\frac{4\left(36-36\sqrt{3}+27\right)+1}{12-6\sqrt{3}}$$

36 与 27 相加，得到 63。

$$\frac{4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1}{12-6\sqrt{3}}$$

通过将分子和分母乘以 12+6\sqrt{3}，使 \frac{4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1}{12-6\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{\left(12-6\sqrt{3}\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}$$

请考虑 \left(12-6\sqrt{3}\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{12^{2}-\left(-6\sqrt{3}\right)^{2}}$$

计算 2 的 12 乘方，得到 144。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{144-\left(-6\sqrt{3}\right)^{2}}$$

展开 \left(-6\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{144-\left(-6\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

计算 2 的 -6 乘方，得到 36。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{144-36\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{144-36\times 3}$$

将 36 与 3 相乘，得到 108。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{144-108}$$

将 144 减去 108，得到 36。

$$\frac{\left(4\left(63-36\sqrt{3}\right)+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{36}$$

使用分配律将 4 乘以 63-36\sqrt{3}。

$$\frac{\left(252-144\sqrt{3}+1\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{36}$$

252 与 1 相加，得到 253。

$$\frac{\left(253-144\sqrt{3}\right)\left(12+6\sqrt{3}\right)}{36}$$

使用分配律将 253-144\sqrt{3} 乘以 12+6\sqrt{3}，并组合同类项。

$$\frac{3036-210\sqrt{3}-864\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{36}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{3036-210\sqrt{3}-864\times 3}{36}$$

将 -864 与 3 相乘，得到 -2592。

$$\frac{3036-210\sqrt{3}-2592}{36}$$

将 3036 减去 2592，得到 444。

$$\frac{444-210\sqrt{3}}{36}$$