求解 frac{4+sqrt{5}}{sqrt{3}+sqrt{5}}

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } }$$

求值

$$-\frac{\sqrt{15}}{2}+2\sqrt{5}+\frac{5}{2}-2\sqrt{3}\approx 1.571542667$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{3}-\sqrt{5}，使 \frac{4+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

对 \sqrt{3} 进行平方运算。 对 \sqrt{5} 进行平方运算。

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{3-5}$$

将 3 减去 5，得到 -2。

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}{-2}$$

应用分配律，将 4+\sqrt{5} 的每一项和 \sqrt{3}-\sqrt{5} 的每一项分别相乘。

$$\frac{4\sqrt{3}-4\sqrt{5}+\sqrt{5}\sqrt{3}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-2}$$

若要将 \sqrt{5} 和 \sqrt{3} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{4\sqrt{3}-4\sqrt{5}+\sqrt{15}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{4\sqrt{3}-4\sqrt{5}+\sqrt{15}-5}{-2}$$

将分子和分母同时乘以 -1。

$$\frac{-4\sqrt{3}+4\sqrt{5}-\sqrt{15}+5}{2}$$