求解 frac{3sqrt{3}-2}{2sqrt{7}+1}

$$\frac { 3 \sqrt { 3 } - 2 } { 2 \sqrt { 7 } + 1 }$$

求值

$$\frac{2\sqrt{21}}{9}-\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{4\sqrt{7}}{27}+\frac{2}{27}\approx 0.508010982$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2\sqrt{7}-1，使 \frac{3\sqrt{3}-2}{2\sqrt{7}+1} 的分母有理化

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{\left(2\sqrt{7}+1\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}$$

请考虑 \left(2\sqrt{7}+1\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{\left(2\sqrt{7}\right)^{2}-1^{2}}$$

展开 \left(2\sqrt{7}\right)^{2}。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{2^{2}\left(\sqrt{7}\right)^{2}-1^{2}}$$

计算 2 的 2 乘方，得到 4。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{4\left(\sqrt{7}\right)^{2}-1^{2}}$$

\sqrt{7} 的平方是 7。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{4\times 7-1^{2}}$$

将 4 与 7 相乘，得到 28。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{28-1^{2}}$$

计算 2 的 1 乘方，得到 1。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{28-1}$$

将 28 减去 1，得到 27。

$$\frac{\left(3\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{7}-1\right)}{27}$$

应用分配律，将 3\sqrt{3}-2 的每一项和 2\sqrt{7}-1 的每一项分别相乘。

$$\frac{6\sqrt{3}\sqrt{7}-3\sqrt{3}-4\sqrt{7}+2}{27}$$

若要将 \sqrt{3} 和 \sqrt{7} 相乘，请将数字从平方根下相乘。

$$\frac{6\sqrt{21}-3\sqrt{3}-4\sqrt{7}+2}{27}$$