求解 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

求解 x 的值

$$x=3$$

$$x=0$$

运用二次公式的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)\left(x+1\right) 的最小公倍数 x+1,x-1。

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

使用分配律将 x-1 乘以 2。

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

合并 2x 和 x，得到 3x。

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

-2 与 1 相加，得到 -1。

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

请考虑 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$3x-1=x^{2}-1$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$3x-1-x^{2}=-1$$

将 1 添加到两侧。

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

-1 与 1 相加，得到 0。

$$3x-x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+3x=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，3 替换 b，并用 0 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

取 3^{2} 的平方根。

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±3}{-2} 的解。 将 3 加上 -3。

$$x=\frac{0}{-2}$$

0 除以 -2。

$$x=0$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±3}{-2} 的解。 将 -3 减去 3。

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-6 除以 -2。

$$x=3$$

现已求得方程式的解。

$$x=0 x=3$$

使用配方法的步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -1,1。 将公式两边同时乘以 \left(x-1\right)\left(x+1\right) 的最小公倍数 x+1,x-1。

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

使用分配律将 x-1 乘以 2。

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

合并 2x 和 x，得到 3x。

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

-2 与 1 相加，得到 -1。

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

请考虑 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 对 1 进行平方运算。

$$3x-1=x^{2}-1$$

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$3x-1-x^{2}=-1$$

将 1 添加到两侧。

$$3x-x^{2}=-1+1$$

-1 与 1 相加，得到 0。

$$3x-x^{2}=0$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+3x=0$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

3 除以 -1。

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

0 除以 -1。

$$x^{2}-3x=0$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

对 x^{2}-3x+\frac{9}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$x=3 x=0$$