求解 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

求值

$$1-\sqrt{2}\approx -0.414213562$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}+2，使 \frac{2}{\sqrt{2}-2} 的分母有理化

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

请考虑 \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

对 \sqrt{2} 进行平方运算。 对 2 进行平方运算。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

将 2 减去 4，得到 -2。

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

消去 -2 和 -2。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

通过将分子和分母乘以 \sqrt{2}+1，使 \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} 的分母有理化

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

请考虑 \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

对 \sqrt{2} 进行平方运算。 对 1 进行平方运算。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

将 2 减去 1，得到 1。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

将 \sqrt{2}+1 与 \sqrt{2}+1 相乘，得到 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

因式分解 32=4^{2}\times 2。 将乘积 \sqrt{4^{2}\times 2} 的平方根重写为平方根 \sqrt{4^{2}}\sqrt{2} 的乘积。 取 4^{2} 的平方根。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

4\sqrt{2} 除以 2 得 2\sqrt{2}。

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

要查找 \sqrt{2}+2 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}。

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

-2 与 3 相加，得到 1。

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

合并 -\sqrt{2} 和 2\sqrt{2}，得到 \sqrt{2}。

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

合并 \sqrt{2} 和 -2\sqrt{2}，得到 -\sqrt{2}。

$$-\sqrt{2}+1$$

因式分解

$$1-\sqrt{2}$$