求解 frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

求值

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17.94427191$$

求解步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{5}，使 \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} 的分母有理化

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{5} 进行平方运算。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

将 4 减去 5，得到 -1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

将 2+\sqrt{5} 与 2+\sqrt{5} 相乘，得到 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

任何数除以 -1 都得它的相反数。 要查找 9+4\sqrt{5} 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$-9-4\sqrt{5}$$