求解 frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

求解 b 的值

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

求解线性方程的步骤

通过将分子和分母乘以 2+\sqrt{3}，使 \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} 的分母有理化

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

请考虑 \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)。 使用以下规则可将乘法转换为平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

对 2 进行平方运算。 对 \sqrt{3} 进行平方运算。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

将 4 减去 3，得到 1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

任何数除以一都等于其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

将 2+\sqrt{3} 与 2+\sqrt{3} 相乘，得到 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

4 与 3 相加，得到 7。

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

将方程式两边同时减去 a。

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

该公式采用标准形式。

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

两边同时除以 \sqrt{3}。

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

除以 \sqrt{3} 是乘以 \sqrt{3} 的逆运算。

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

4\sqrt{3}-a+7 除以 \sqrt{3}。

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

求解 a 的值

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$